插值法的概念是什么?
1、一維插值問題:
問題如下:已經(jīng)有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)
,其中
互不相同,不妨假設(shè)
,求任意插值點(diǎn)
處的插值
思路:構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)y=f(x),使得f(x)結(jié)果所有的點(diǎn),求
即可得到
2、插值法的概念:
設(shè)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,且已知在點(diǎn)
上的值分別為
若存在一個(gè)簡單的函數(shù)P(x),使
則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù),點(diǎn)
稱為插值節(jié)點(diǎn),包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間,求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法。 若P(x)是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項(xiàng)式,即
,就稱為插值多項(xiàng)式 若P(x)為分段多項(xiàng)式,就稱為分段插值 若P(x)為三角多項(xiàng)式,就稱為三角插值。 3、一般插值多項(xiàng)式原理
定理:設(shè)有n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)
則存在唯一的多項(xiàng)式:
使得
證明:構(gòu)造方程組
令:
方程組的矩陣形式如下:AX=Y(4)
由于
所以方程組(4)存在唯一解
從而
唯一存在
注1:只要n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)互異,滿足上述插值條件的多項(xiàng)式是唯一的
注2:如果不限制多項(xiàng)式的次數(shù),插值多項(xiàng)式并不唯一
4、拉格朗日插值法
在數(shù)值分析中,拉格朗日插值法是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉易斯·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。在若干個(gè)不容的地方得到相應(yīng)的觀測值,拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式,其恰好在各個(gè)觀測的點(diǎn)取到觀測到的值。
兩個(gè)點(diǎn)
我們可以構(gòu)造出在兩點(diǎn)之間的任意的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的插值
三個(gè)點(diǎn)
對(duì)于四個(gè)點(diǎn)甚至更多的點(diǎn),我們可以依次寫出
數(shù)學(xué)表達(dá):
高次插值會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象,即在兩端處的波動(dòng)極大,產(chǎn)生明顯的震蕩。在不清楚運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的前提下,不要輕易使用高次插值。
5、分段線性插值
由于插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高未必能提高精度,反而可能回增大誤差,所以引入分段插值。
最簡單的就是分段線性插值,相鄰的兩點(diǎn)之間連成一條線段來擬合所有的點(diǎn)。
6、分段二次插值(分段拋物插值)
選取跟節(jié)點(diǎn)x最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)
進(jìn)行二次插值,即在每一個(gè)區(qū)間
上,取
這種分段的低次插值稱為分段二次插值,在幾何上就是用分段拋物線代替y=f(x),所以分段二次插值又稱為分段拋物插值。
7、埃爾米特(Hermite)插值
不做過多敘述,就是它即滿足函數(shù)值相等,又滿足導(dǎo)數(shù)值相等,甚至是高階導(dǎo)數(shù)值還相等的不超過(2n+1)次的多項(xiàng)式。既然是多項(xiàng)式肯定存在龍格現(xiàn)象,因此我們使用分段的方法來降低誤差,減少龍格。
8、分段三次埃爾米特插值(常用)
直接使用Hermite插值得到的多項(xiàng)式次數(shù)較高,也存在龍格現(xiàn)象。因此在實(shí)際使用中,往往使用分段三次Hermite插值多項(xiàng)式(PCHIP)。
證明推導(dǎo)太過復(fù)雜,掌握怎么使用即可。
matlab有內(nèi)置函數(shù)pchip()
x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1); plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-') % 此處的'o'用來修飾plot(x,y) % plot函數(shù)用法: % plot(x1,y1,x2,y2) % 線方式: - 實(shí)線 :點(diǎn)線 -. 虛點(diǎn)線 -- 波折線 % 點(diǎn)方式: . 圓點(diǎn) +加號(hào) * 星號(hào) x x形 o 小圓 % 顏色: y黃; r紅; g綠; b藍(lán); w白; k黑; m紫; c青
9、三次樣條插值(常用)
三次樣條插值需要滿足更嚴(yán)苛的條件:
函數(shù)值相等S(x) =f(x) 在每個(gè)子區(qū)間上S(x)都是三次多項(xiàng)式 S(x)在[a,b]上二階可微
主要來說應(yīng)用
matlab有內(nèi)置的函數(shù)spline(x,y,new_x)
% 三次樣條插值和分段三次埃爾米特插值的對(duì)比 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃爾米特插值 p2 = spline(x,y,new_x); %三次樣條插值 figure(2); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-') legend('樣本點(diǎn)','三次埃爾米特插值','三次樣條插值','Location','SouthEast') % legend(String1, string2, String3,...)每個(gè)String與繪圖之間有順序?qū)?yīng)關(guān)系 % Location 表示legend的位置,上述語句表示在SouthEast東南方向
可以看出,三次樣條生成的曲線更加光滑。在實(shí)際過程中,由于我們不知道數(shù)據(jù)的生成過程,因此兩種插值都可以使用。
以上就是關(guān)于插值法的概念及計(jì)算公式的相關(guān)內(nèi)容,希望對(duì)您有所幫助。
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