線性回歸方程公式(線性回歸方程簡單求法)

線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法，是變量間的相關(guān)關(guān)系中最重要的一部分，主要考查概率與統(tǒng)計知識，考察學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力及運算能力，題目難度中等，應(yīng)用廣泛.

一 線性回歸方程公式

二 規(guī)律總結(jié)

(3)回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學方法.主要用來解決：

①確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式;

②根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢;

③求線性回歸方程.

三 線性回歸方程簡單求法例題

例1

四 線性回歸方程的應(yīng)用

例2

例3

例4

例5

例6

推導2個樣本點的線性回歸方程

例7 設(shè)有兩個點A(x1，y1)，B(x2，y2)，用最小二乘法推導其線性回歸方程并進行分析。

解：由最小二乘法，設(shè)

，則樣本點到該直線的“距離之和”為

從而可知：當

時，b有最小值。將

代入“距離和”計算式中，視其為關(guān)于b的二次函數(shù)，再用配方法，可知：

此時直線方程為：

設(shè)AB中點為M

，則上述線性回歸方程為

可以看出，由兩個樣本點推導的線性回歸方程即為過這兩點的直線方程。這和我們的認識是一致的：對兩個樣本點，最好的擬合直線就是過這兩點的直線。

上面我們是用最小二乘法對有兩個樣本點的線性回歸直線方程進行了直接推導，主要是分別對關(guān)于a和b的二次函數(shù)進行研究，由配方法求其最值及所需條件。實際上，由線性回歸系數(shù)計算公式：

可得到線性回歸方程為

設(shè)AB中點為M

，則上述線性回歸方程為

。

求回歸直線方程

例8 在硝酸鈉的溶解試驗中，測得在不同溫度

下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)

的數(shù)據(jù)如下

描出散點圖并求其回歸直線方程.

解：建立坐標系，繪出散點圖如下：

由散點圖可以看出：兩組數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)性。設(shè)回歸直線方程為：

由回歸系數(shù)計算公式：

可求得：b=0.87，a=67.52，從而回歸直線方程為：y=0.87x+67.52。

三、綜合應(yīng)用

例3、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：

(1)求回歸直線方程;(2)估計使用10年時，維修費用約是多少?

解：(1)設(shè)回歸直線方程為：

(2)將x = 10代入回歸直線方程可得y = 12.38，即使用10年時的維修費用大約是12.38萬元。

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